Σάββατο, 25 Ιουνίου 2011

Alain Badiou-Μαθηματικό παράδειγμα: Αριθμοί ΙΙ

Μια τέτοια πρόταση μοιάζει να σηματοδοτεί τον θρίαμβο του σχετικιστή, του πραγματιστή παρτιζάνου της ασυμφιλίωτης πολλαπλότητας των πολιτισμών. Γιατί; Επειδή το να λες "υπάρχει άπειρος αριθμός πρώτων αριθμών" όπως και το να λες "υπάρχουν τόσοι πρώτοι αριθμοί όσοι και αριθμοί γενικώς" θα ήταν για έναν αρχαίο Έλληνα, ακόμα και για έναν μαθηματικό, το να μιλάς σε μια ακατάληπτη γλώσσα. Πρώτα από όλα, δεν μπορεί να υπάρξει άπειρο σύνολο για έναν τέτοιο Έλληνα, διότι όλα όσα μπορούν να νοηθούν είναι περατά. Υπάρχουν μόνο αλληλουχίες που συνεχίζουν. Δεύτερον, αυτό οποίο περιέχεται σε κάτι είναι μικρότερο από αυτό το κάτι. Αυτό μπορεί να διατυπωθεί αξιωματικά (είναι μια από τις ρητές μορφικές αρχές των Στοιχείων του Εκλείδη): "Το όλον είναι μεγαλύτερο του μέρους." Τώρα, οι πρώτοι αριθμοί είναι ένα μέρος των αριθμών. Συνεπώς [για έναν υποθετικό αρχαίο Έλληνα] υπάρχουν λιγότεροι πρώτοι αριθμοί από ότι αριθμοί γενικότερα. 

Όπως μπορείτε να δείτε, αυτό θα μπορούσε να δώσει πειστικότητα στην ιδέα ότι ο ανθρωπολογικός σχετικισμός πρέπει να προκτείνεται και προς την υποτιθέμενη απόλυτη αλήθεια των μαθηματικών. Με δεδομένο ότι υπάρχουν μόνο γλώσσες, θα μας βεβαιώσουν ότι σε τελική ανάλυση οι "πρώτοι αριθμοί" δεν έχουν το ίδιο νόημα στην γλώσσα του Ευκλείδη όπως έχουν στη δική μας, εφόσον ένας αρχαίος Έλληνας δεν μπορούσε καν να καταλάβει τι είναι αυτό που η σύγχρονη γλώσσα λέει για τους πρώτους αριθμούς. Στην πραγματικότητα, στην κατά κυριολεξία μετάφραση του Peyrard στα Στοιχεία το 1819, η ζωτική πρόταση για την αλληλουχία πρώτων αριθμών διατυπώνεται με ένα λεξιλόγιο το οποίο διαφέρει εντελώς από αυτό του απείρου. Πρόκειται για την πρόταση 20 του ένατου βιβλίου: "Οι πρώτοι αριθμοί είναι περισσότεροι από κάθε ανατιθέμενη πολλαπλότητα πρώτων αριθμών."

Για να πούμε την αλήθεια, ακόμα και οι ορισμοί στη βάση της οποίας αποδιεκνύεται το θεώρημα είναι πολύ διαφορετικοί για τους Έλληνες και για μας. Έτσι, η γενική έννοια της διαιρεσιμότητας αρθρώνεται με όρους του τμήματος, του μεγάλου, του μικρού, και του μέτρου. Αναλογιστείτε τον ορισμό 5 του έβδομου βιβλίου των Στοιχείων: "Ενας αριθμός είναι μέρος ενός αριθμού, το μικρότερο του μεγαλύτερου, όταν το μικρότερο μετρά το μεγαλύτερο." Κανένας από τους όρους αυτούς δεν υπάρχει στον σύγχρονο ορισμό. Η ανθρωπολογία των πολιτισμών, η οποία είναι ένας πολύ σημαντικός κλάδος του δημοκρατικού υλισμού, μπορεί να επιχειρηματολογήσει εδώ ότι η επιστημονική συνέχεια διατρέχει ολόκληρες ζώνες απλής συνωνυμίας. 

Συνεπάγεται λοιπόν ότι τα πάντα είναι θέμα κουλτούρας, περιλαμβανομένων των μαθηματικών; Ότι η οικουμενικότητα είναι απλώς μια μυθοπλασία; Και ίσως μια ιμπεριαλιστική, ακόμα και ολοκληρωτιστική μυθοπλασία; Θα χρησιμοποιήσουμε το ίδιο παράδειγμα για να ισχυριστούμε αντιθέτως:

-ότι μια αιώνια αλήθεια περιβάλλεται από διαφορετικά εννοιακά και γλωσσικά συμφραζόμενα (από αυτό που θα αποκαλέσουμε, αρχίζοντας από το δεύτερο Βιβλίο, διαφορετικούς "κόσμους")
-ότι ένα υποκείμενο του ίδιου τύπου βρίσκεται εμπλεγμένο στην αποδεικτική διαδικασία, είτε είναι Έλληνας είτε σύγχρονος (είτε ανήκει στον κόσμο "ελληνικά μαθηματικά" είτε στον κόσμο "μαθηματικά μετά τον Καντόρ")

Το βασικό σημείο είναι ότι η αλήθεια κάτω απ' το άπειρο των πρώτων αριθμών δεν είναι τόσο το ίδιο το άπειρο, όσο αυτό το οποίο επιτρέπει σε κάποιον να αποκωδικοποιήσει σχετικά με την δομή των αριθμών: δηλαδή, ότι αποτελούνται όλοι από πρώτους αριθμούς, οι οποίοι είναι κάτι σαν τα "ατομικά" (μη διαιρετά) στοιχεία της αριθμητικότητας. Στην πραγματικότητα, κάθε αριθμός μπορεί να γραφεί ως το προϊόν των δυνάμεων των πρώτων αριθμών (αυτή είναι η "αποσύνθεσή του σε πρώτους παράγοντες"). Για παράδειγμα, ο αριθμός 11.664 είναι ίσος με το 2 εις την τέταρτη επί του 3 εις την έκτη. Αλλά μπορούμε να εφαρμόσουμε αυτή την παρατήρηση και στις ίδιες τις δυνάμεις. Έτσι το 4 είναι ίσο με το 2 εις τη δεύτερη και το 6 με το 2 εις την τρίτη. Έτσι, στο τέλος, έχουμε 11.664= δύο εις την δεύτερη επί δύο επί τρία εις την δεύτερη επί τρία· μια διατύπωση όπου εμφανίζονται μόνον πρώτοι αριθμοί. 

Αυτού του είδους η δομική συλλογιστική είναι τόσο σημαντική ώστε να έχει διαμορφώσει την συνολική ανάπτυξη της σύγχρονης αφηρημένης άλγεβρας (ανάπτυξη που θα μελετήσουμε από μια άλλη γωνία στο έβδομο Βιβλίο). Με δεδομένο οποιονδήποε λειτουργικό χώρο, ο οποίος απαρτίζεται από "αντικείμενα" πάνω στα οποία είναι εφικτό να ορίσουμε λειτουργίες συγγενικές με την πρόσθεση και τον πολλαπλασιασμό, μπορεί να βρει κανείς μέσα στον χώρο αυτό το αντίστοιχο των πρώτων αριθμών; Είναι εφικτό, με τον ίδιο τρόπο, να αποσυνθέσουμε αντικείμενα με την βοήθεια "πρωτόγονων" αντικειμένων; Εδώ έχουμε τις απαρχές (από τον Gauss και έπειτα) την ζωτικής θεωρίας των ιδανικών πρώτων σε δακτύλιο. Σε σχέση με την διαδικασία αυτή--αυτή την εξαγωγή των δομικών μορφών που ενυπάρχουν στην συμπεριφορά αριθμητικών λειτουργιών--είναι ξεκάθαρο ότι υπάρχει πρόοδος, θρίαμβος, νέες ιδέες και λοιπά, αλλά είναι επίσης ξεκάθαρο ότι η ελληνική αριθμητική είναι εμμενής ως προς αυτή την κίνηση.

Αντιμετωπίζοντας την καθοριστική απουσία πραγματικά λειτουργικών αριθμητικών και κυριολεκτικών τρόπων καταγραφής, και παρεμποδισμένοι απ' τον φετιχισμό τους για την οντολογική περατότητα, οι Έλληνες σκέφτηκαν βέβαια μόνο για μέρος του προβλήματος. Δεν ήταν ικανοί να ταυτοποιήσουν ξεκάθαρα την γενική μορφή της αποσύνθεσης ενός αριθμού σε πρώτους παράγοντες. Και όμως, συνέλαβαν το θεμελιώδες: οι πρώτοι αριθμοί εμπλέκονται πάντοτε στην πολλαπλασιαστική σύνθεση ενός μη πρώτου αριθμού. Αυτή είναι η περίφημη πρόταση 31 του έβδομου βιβλίου [του Ευκλείδη]: "Κάθε σύνθετος αριθμός μετριέται από κάποιον πρώτο αριθμό." Αυτό, σύμφωνα με τον συμβολισμό μας, σημαίνει ότι με δεδομένο οποιονδήποτε αριθμό n, υπάρχει πάντοτε ένας πρώτος αριθμός p, ο οποίος να διαιρεί το n.

Δεν είναι υπερβολή το να πούμε ότι αυτή είναι μια "επαφή" με την ουσία του αριθμού και της υπολογίσιμής του υφής, την οποία περικλείουν και εκδιπλώνουν σε νέα εννοιακά και γλωσσικά συμφραζόμενα--σε νέους κόσμους--οι πιό σύγχρονες αριθμητικές και αλγεβραϊκές προτάσεις, χωρίς ποτέ τους να την "ξεπερνούν" ή να την καταργούν. Αυτό είναι που δεν διστάζουμε να καλέσουμε αιώνια αλήθεια--ή ένα παράδειγμα αυτού που ο Έλληνας Αρχιμήδης ισχυρίστηκε πως ανακάλυψε, δηλαδή "ιδιότητες εγγενείς ως προς την φύση των [μαθηματικών αντικειμένων], που πάντα υπήρχαν μέσα τους, και όμως αγνοήθηκαν από αυτούς που προηγήθηκαν εμού".

Το δεύτερο τμήμα της διακήρυξης του Αρχιμήδη είναι τόσο σημαντικό όσο το πρώτο. Όσο αιώνια και να είναι, μια μαθηματική αλήθεια θα πρέπει ωστόσο να εμφανιστεί για να είναι η αιωνιότητά της αποτελεσματική. Τώρα, η διαδικασία αυτής της εμφάνισης είναι μια απόδειξη, η οποία προϋποθέτει ένα υποκείμενο (όπως λέει ο Αρχιμήδης, αυτούς που προηγήθηκαν, ή εμένα).

Δεν υπάρχουν σχόλια: