Δευτέρα, 27 Ιουνίου 2011

Alain Badiou-Μαθηματικό παράδειγμα: Αριθμοί ΙΙΙ

Αλλά, αφήνοντας παράμερα κάθε ψυχολογία, ποιο είναι το υποκείμενο μιας αποδεικτικής εφεύρεσης, απ' το οποίο πηγάζει η εκδίπλωση μιας αιώνιας μαθηματικής αλήθειας;  Είναι αυτό το οποίο συνδέει ένα φορμαλισμό με ένα υλικό σώμα (ένα σώμα γραφής στην περίπτωση των μαθηματικών). Ο φορμαλισμός αυτός επιδεικνύει και καθιστά ρητό ένα εις το διηνηκές υποκειμενοποιήσιμο περιορισμό σε συνάφεια με το σώμα γραφής.

Εάν δεχτείτε τον ορισμό του αριθμού και τους συναφείς ορισμούς, τότε πρέπει να δεχτείτε ότι "κάθε σύνθετος αριθμός αναλύεται σε κάποιον πρώτο αριθμό". Εάν δεχτείτε ότι "κάθε σύνθετος αριθμός αναλύεται σε κάποιον πρώτο αριθμό" τότε πρέπει να δεχτείτε ότι "οι πρώτοι αριθμοί είναι περισσότεροι από κάθε ανατιθέμενη πολλαπλότητα πρώτων αριθμών" (ή ότι υπάρχουν άπειροι πρώτοι αριθμοί).

Αυτό που είναι αξιοπρόσεχτο είναι ότι ο μαθηματικός υποκειμενικός τύπος που αφιερώνεται στον περιορισμό είναι αμετάβλητος. Με άλλα λόγια, μπορείτε να αναλάβετε τη θέση στην οποία σας περιορίζει το ελληνικό μαθηματικό κείμενο χωρίς να χρειάζεται να μετατρέψετε το γενικό υποκειμενικό σύστημα των χώρων περιορισμού. Παρόμοια, μπορείτε να αγαπάτε μια τραγωδία του Αισχύλου επειδή ενσωματώνεστε στις τραγωδίες του Κλωντέλ· ή να αξιολογείτε την πολιτική σημασία του κινεζικού κειμένου του 81 π.Χ, των Πραγματειών περί του άλατος και του σιδήρου, χωρίς να σταματήσετε να είστε επαναστάτης της δεκαετίας του 70 στον εικοστό αιώνα·, ή, ως σύγχρονος εραστής, να μοιραστείτε την αγωνία της Διδούς όταν την εγκαταλείπει ο Αινείας. 

Πώς περνά ο Ευκλείδης από τους αρχικούς ορισμούς (πολλαπλός ενός αριθμού, πρώτοι αριθμοί, κλπ), στην πρωταρχική δομική πρόταση (κάθε αριθμός είναι διαιρέσιμος από ένα πρώτο αριθμό); Μέσα από μία διαδικασία "περατής καθοδικής κλίσης" η οποία είναι κατάλληλη για την υποφώσκουσα δομή των αριθμών. Εάν ο n είναι σύνθετος, τότε αναλύεται μετρικά σε έναν αριθμό p, διαφορετικό από το 1 (εάν μπορούσε να αναλυθεί μετρικά με το 1 θα ήταν πρώτος). Έχουμε συνεπώς n=p1 · q1 (ορισμός του "αναλύεται μετρικά με"). Επαναλαμβάνουμε κατόπιν το ερώτημα για τοn p1. Εάν ο p1 είναι πρώτος, έχει καλώς, εφόσον διαιρεί (αναλύει μετρικά) τον n. Εάν δεν είναι, έχουμε p1=p2 · q2, αλλά τότε n=p2 ·  q2 · q1, και το p2 διαιρεί τον n. Εάν ο p2 είναι πρώτος αριθμός, έχει καλώς. Αν όχι, έχουμε p2=p3 · q3 και ο q3 διαιρεί τον n. Εάν ο p3 είναι πρώτος, κλπ.

Αλλά έχουμε: ...p4<p3<p2<p1. Αυτή η καθοδική κλίση πρέπει να σταματά, διότι ο p1 είναι ένας περατός αριθμός. Και μπορεί να σταματήσει μόνο σε πρώτο αριθμό. Για αυτό το λόγο υπάρχει ένας πρώτος αριθμός pr, με τον n=prqr · pr-1qr-1....· q1. Αυτός ο πρώτος αριθμός pr διαιρεί το n, όπως έπρεπε να αποδειχτεί.

Το υποκείμενο το οποίο εμπλουτίζει τη γραφή και περιορίζεται από αυτή είναι εδώ κατασκευαστικού τύπου:  συνδέεται με έναν καθοδικό αλγόριθμο, οποίος φτάνει σε ένα σημείο στάσης, όπου και εγγράφεται το ανακοινούμενο αποτέλεσμα. Ο υποκειμενικός αυτός τύπος είναι τόσο αιώνιος όσο και το ρητό του αποτέλεσμα, και μπορεί να τον συναντήσουμε στην διαδικασία κάθε είδους μη μαθηματικών αληθειών: η κατάσταση μπαίνει σε μια προοδευτική μείωση, έως ότου φτάσει σε ένα συστατικό το οποίο δεν μπορεί να απορροφηθεί από τη μείωση.

Τώρα, πώς περνά ο Ευκλείδης από το αποτέλεσμα που προαναφέραμε στην αρχική μας δήλωση σχετικά με το άπειρο των πρώτων αριθμών; Μέσω μιας εντελώς διαφορετικής διαδικασίας, αυτής ενός απαγωγικού επιχειρήματος τύπου reductio ad absurdum, το οποίο είναι σε αυτή την περίπτωση κατάλληλο για την αρνητική διατύπωση του αποτελέσματος (εάν υπάρχουν άπειροι πρώτοι αριθμοί, τότε δεν υπάρχει μια περατή ποσότητα πρώτων αριθμών, διατύπωση που στην ουσία είναι αυτή του ίδιου του Ευκλείδη).

Υποθέστε ότι υπάρχουν N πρώτοι αριθμοί, με το N να είναι ένας (περατός) ακέραιος αριθμός. Αναλογιστείτε το παράγωγο αυτών των N πρώτων αριθμών: p1 · p2· ... ·pr ·...· pΝ· Ας το ονομάσουμε P, και ας αναλογιστούμε τον αριθμό P+1. O P+1 δεν μπορεί να είναι πρώτος αριθμός. Αυτό επειδή είναι μεγαλύτερος από όλους τους πρώτους αριθμούς οι οποίοι, σύμφωνα με την υπόθεσή μας, περιέχονται στο παράγωγο p1 · p2·...· pΝ=P, και οι οποίοι συνεπώς είναι όλοι τους ήδη μικρότεροι του P, και επομένως και του P+1. Συνεπώς, ο P+1 είναι σύνθετος αριθμός. Αυτό σημαίνει ότι είναι διαιρέσιμος με έναν πρώτο αριθμό (σύμφωνα με την βασική ιδιότητα η οποία αποδείχτηκε από την "καθοδική κλίση"). Είναι συνεπώς βέβαιο ότι υπάρχει ένας πρώτος αριθμός p, με το (P+1)=p · q1. Αλλά κάθε πρώτος αριθμός διαιρεί τον P, ο οποίος, σύμφωνα με την υπόθεσή μας, είναι το παράγωγο όλων των πρώτων αριθμών. Έτσι έχουμε επίσης  P=p · q2. Τελικά, έχουμε:

(P+1) - P= p· q1 - p · q2= p(q1 - q2)

Δηλαδή:

1=p(q1 - q2)

Αυτό σημαίνει ότι ο p διαιρεί το 1, το οποίο είναι εντελώς αδύνατο. Συνεπώς, η αρχική υπόθεση θα πρέπει να απορριφθεί:  οι πρώτοι αριθμοί δεν σχηματίζουν ένα πεπερασμένο σύνολο.

Τη φορά αυτή, το υποκείμενο που εμπλέκται στην απόδειξη και συνδέεται με αυτή είναι ένα μη κατασκευαστικό υποκείμενο. Αναπτύσσοντας μια υπόθεση, αντιμετωπίζει ένα σημείο του αδύνατου (εδώ, ένας πρώτος αριθμός πρέπει να διαιρέσει το 1), το οποίο το υποχρεώνει να αρνηθεί την υπόθεση. Η διαδικασία αυτή δεν κατασκευάζει καταφατικά το άπειρο των πρώτων αριθμών (ή τον πρώτο αριθμό που είναι μεγαλύτερος από την δεδομένη ποσότητα). Δείχνει ότι η αντίθετη υπόθεση είναι αδύνατη (αυτή ενός πεπερασμένου αριθμού πρώτων αριθμών, αυτή ενός μέγιστου πρώτου αριθμού). Και αυτή η υποκειμενική μορφή είναι επίσης αιώνια: εξετάζοντας την κατάσταση σύμφωνα με μια καθορισμένη έννοια, αντιλαμβανόμαστε ένα πραγματικό σημείο σε αυτή την κατάσταση το οποίο απαιτεί να διαλέξουμε ανάμεσα στην συντήρηση της έννοιας ή την συντήρηση της κατάστασης.

Είναι αλήθεια ότι με αυτόν τον τρόπο υποθέτουμε ότι το υποκείμενο δεν θέλει να εξαλειφθεί η κατάσταση. Θα θυσιάσει την έννοιά του σ' αυτή. Αυτό, πράγματι, είναι που συνιστά ένα υποκείμενο αλήθειας: υποστηρίζει πως μία έννοια έχει αξία στον βαθμό που υποστηρίζει μια αλήθεια της κατάστασης. Με την έννοια αυτή είναι ένα υποκείμενο συνεπές ως προς την υλιστική διαλεκτική. Ένα υποκείμενο που συμμορφώνεται με τον δημοκρατικό υλισμό μπορεί αντίθετα να είναι μηδενιστικό: προτιμά τον εαυτό του από κάθε κατάσταση. Θα δούμε (στο πρώτο Βιβλίο) ότι ένα τέτοιο υποκείμενο θα πρέπει να εγκαταλείψει κάθε λογική που είναι παραγωγική ή πιστή προς την κατάσταση και να υιοθετήσει είτε τον φορμαλισμό του αντιδραστικού υποκειμένου είτε αυτόν του σκοτεινού υποκειμένου.

Στο τέλος-τέλος, η απόρριψη του  reductio ad absurdum είναι μια ιδεολογική επιλογή με τεράστιες συνέπειες. Αυτό επιβεβαιώνει πως τα μαθηματικά, αντί να είναι μια αφηρημένη άσκηση με την οποία δεν χρειάζεται να ασχολείται ζωτικά κανείς, είναι ένα υποκειμενικός αναλυτής ύψιστου βεληνεκούς. Η εχθρότητα που περιβάλλει όλο και περισσότερο τα μαθηματικά--πολύ απόμακρα, λένε, από την "πρακτική" ή την "απτή ζωή"--είναι ένα από τα πολλά σημάδια του μηδενιστικού προσανατολισμού που λίγο-λίγο διαφθείρει όλα τα υποκείμενα που σκύβουν κάτω απ' την εξουσία του δημοκρατικού υλισμού. Ο Πλάτωνας, που απαιτούσε από τους μέλλοντες φύλακες της Πολιτείας δέκα χρόνια πεισματικής μελέτης της γεωμετρίας, ήταν ο πρώτος που το αντελήφθη. Για αυτόν, ήταν ένα και το αυτό να πρέπει να διατυπώσει αυτό το προαπαιτούμενο [των δέκα ετών μελέτης της γεωμετρίας] και να κριτικάρει αλύπητα αυτό που είχε καταντήσει η δημοκρατική μορφή της πολιτείας στην Αθήνα στη διάρκεια και στο κατόπι του ατέλειωτου πολέμου με τη Σπάρτη.

Δεν υπάρχουν σχόλια: