Σάββατο, 25 Ιουνίου 2011

Alain Badiou-Για μια διδακτική των αιώνιων αληθειών/Μαθηματικό παράδειγμα: Αριθμοί Ι

Alain Badiou
Λογικές των κόσμων
Μτφρ.: Radical Desire
Προοίμιο 

2: Για μια διδακτική των αιώνιων αληθειών
Είπα ότι για μένα η ύπαρξη εξαιρέσεων (ή αληθειών) στο απλό "υπάρχει" των σωμάτων και των γλωσσών παίρνει τη μορφή μιας πρωταρχικής απόδειξης. Η θεωρητική τροχιά η οποία οργανώνει την Λογική των κόσμων εξετάζει την σύσταση, σε ενικούς κόσμους, της εμφάνισης των αληθειών, και συνεπώς αυτού που θεμελιώνει την απόδειξη της ύπαρξής τους. Δείχνω πως η εμφάνιση των αληθειών είναι εμφάνιση εντελώς ενικών σωμάτων (μετα-συμβαντικών σωμάτων), τα οποία συνθέτουν την πολλαπλή υλικότητα όπου ανακύπτουν ειδικοί φορμαλισμοί (υποκειμενικοί φορμαλισμοί).

Παρ' όλα αυτά, δεν είναι κακή ιδέα να προσπαθήσουμε εξ αρχής μια (αθεμελίωτη ακόμα) κατανομή των αποδείξεων αυτών περί της ύπαρξης αληθειών· να εξηγήσουμε γιατί, αναλογιζόμενοι απλώς για το αμετάβλητο που υπάρχει ανάμεσα σε αλλιώς ανόμοιους κόσμους, μπορούμε να αντιταχθούμε στον σχετικισμό και την άρνηση κάθε ιεραρχίας των ιδεών που υπονοεί ο δημοκρατικός υλισμός. Πρόκειται εδώ απλώς για ένα ζήτημα περιγραφής, μέσω της μεσολάβησης κάποιων παραδειγμάτων, των επαρκών συνεπαγωγών των αληθειών στον βαθμό που, εφόσον έχουν εμφανιστεί, συνθέτουν μια άχρονη μετα-ιστορία. Αυτή η καθαρή διδακτική έχει ως στόχο να δείξει ότι υπάρχουν θέσεις εξαίρεσης, ακόμα και αν είναι αδύνατο να συμπεράνουμε από αυτές την αναγκαιότητά τους, ή να βιώσουμε εμπειρικά τη διαφορά τους απ' τις γνώμες. Η διδακτική αυτή, όπως γνωρίζουμε, είναι ο πυρήνας των πρώτων διαλόγων του Πλάτωνα, και συνεπώς όλης της μη κριτικής φιλοσοφίας. Ξεκινώντας από οποιαδήποτε κατάσταση, κάποιος σηματοδοτεί, κάτω από το προοδευτικά καθαρό όνομα της Ιδέας, ότι υπάρχει πράγματι κάτι άλλο από σώματα και γλώσσες. Διότι η Ιδέα δεν είναι ένα σώμα με την έννοια ενός άμεσου δεδομένου (αυτό είναι που πρέπει να κρατήσουμε από την αντίθεση ανάμεσα στο αισθητό και το νοητό), ούτε είναι μια γλώσσα ή ένα όνομα (όπως δηλώνεται στον Κρατύλο: "εμείς οι φιλόσοφοι ξεκινούμε απ' τα πράγματα, όχι απ' τις λέξεις").

Φυσικά, δίνω το όνομα "αλήθειες" σε αληθινές διαδικασίες οι οποίες, όσο και να αφαιρούνται από την πραγματιστική αντίθεση σωμάτων και γλωσσών, βρίσκονται ωστόσο σε αυτόν τον κόσμο. Επιμένω, εφόσον αυτό είναι το πρόβλημα με το οποίο ασχολείται το βιβλίο τούτο: οι αλήθειες δεν υπάρχουν απλώς, αλλά εμφανίζονται. Είναι εδώ και τώρα που ο απρόσμενος τρίτος όρος (υποκείμενο-αλήθειες) παραπληρώνει τους δύο άλλους (πολλαπλότητες και γλώσσες). Η υλιστική διαλεκτική είναι μια ιδεολογία της εμμένειας. Παρ' όλα αυτά, είχα καλό λόγο όταν στο Μανιφέστο για τη Φιλοσοφία (1989) μου είπα ότι αυτό που απαιτείται από μας είναι μια "πλατωνική χειρονομία": να υπερκεράσουμε τη δημοκρατική σοφιστεία εξιχνιάζοντας κάθε Υποκείμενο το οποίο συμμετέχει σε μια εξαιρετική διαδικασία αλήθειας. Τα τέσσερα παραδείγματα που ακολουθούν θα πρέπει να ιδωθούν ως προσχέδια μιας τέτοιας χειρονομίας. Και τα τέσσερα έχουν ως στόχο να δείξουν τι είναι μια αιώνια αλήθεια μέσα από την παραλλαγή των στιγμών της: την πολλαπλότητα των (ανα)κατασκευών της σε διαφορετικούς κόσμους. Κάθε παράδειγμα ρίχνει φως τόσο στη θεματική της πολλαπλότητας των κόσμων (που γίνεται, στο δεύτερο Βιβλίο, η υπερβατική λογική του είναι-εκεί, ή η θεωρία του αντικειμένου) όσο και στη θεματική των σωμάτων-της-αλήθειας, όπως, καθώς δομούνται σε ένα κόσμο και κουβαλούν το στίγμα του, αφήνονται να ταυτοποιηθούν από απόσταση (από έναν άλλο κόσμο) ως οικουμενικά, ή δια-κοσμικά. Είναι ζήτημα της παρουσίασης, σε κάθε μία από τις τάξεις στην οποία ανακύπτει, του "με την εξαίρεση ότι" των αληθειών και των υποκειμένων που οι αλήθειες αυτές προ(σ)καλούν.


3. Μαθηματικό παράδειγμα: Αριθμοί
Αντλούμε το πρώτο μας παράδειγμα από την στοιχειώδη άλγεβρα.

Σε όλα όσα ακολουθούν, με τον όρο "αριθμός" κατανοούμε έναν φυσικό ακέραιο αριθμό (1, 2. 3....n...). Θα λάβουμε ως δεδομένο ότι ο αναγνώστης μας γνωρίζει τις λειτουργίες της πρόσθεσης (n+m) και του πολλαπλασιασμού (n · m) ως καθορίσιμες πάνω στους αριθμούς. Θα πούμε κατόπιν ότι ένας αριθμός p είναι διαιρέσιμος από έναν αριθμό q εάν υπάρχει ένας τρίτος αρθμός n, έτσι ώστε p=n · q ("το p ισούται με το n επί q"). Μπορεί επίσης να γράψει κανείς p/q=n ή p:q=n.

Ένας αριθμός (άλλος από τον 1) είναι πρώτος αριθμός εφόσον διαιρείται μόνο δια του εαυτού του του και δια της μονάδας 1. Έτσι, οι αριθμοί 2, 3, 5, είναι πρώτοι αριθμοί, όπως και οι 17, και 19, κλπ. Το 4 (το οποίο διαιρείται από το 2), το 6 (το οποίο διαιρείται από το 2 και το 3), ή το 18 (το οποίο διαιρείται από το 2, το 3, το 6, και το 9) δεν είναι πρώτοι αριθμοί.

Υπάρχει ένα συγχρόνως αξιοπερίεργο και θεμελιώδες αριθμητικό θεώρημα το οποίο μπορεί να διατυπωθεί σε σύγχρονη γλώσσα ως εξής: "Υπάρχει άπειρος αριθμός πρώτων αριθμών." όσο και να προχωρήσεις στην αλληλουχία των αριθμών θα βρίσκεις πάντα ένα άπειρο νέων αριθμών οι οποίοι να είναι διαιρέσιμοι μόνο από τον εαυτό τους και απ' το 1. Έτσι, ο αριθμός 1.238.926.361.552.897 είναι πρώτος αριθμός, αλλά υπάρχουν άπειροι πρώτοι αριθμοί μετά από αυτόν.

Αυτό το θεώρημα παίρνει μια ακόμα πιο παράδοξη σύγχρονη μορφή, η οποία έχει ως εξής: "Υπάρχουν τόσοι πρώτοι αριθμοί όσοι και αριθμοί". Γνωρίζουμε ουσιαστικά, μετά τον Καντόρ, πώς να συγκρίνουμε διαφορετικά σύνολα που είναι άπειρα. Για να το κάνουμε αυτό, είναι απαραίτητο να ανακαλύψουμε εάν υπάρχει ανάμεσα στα δύο σύνολα μια δια-μονοσήμαντη αντιστοιχεία: συνταιριάζεις κάθε στοιχείο του πρώτου συνόλου με ένα στοιχείο του δεύτερου, έτσι ώστε σε δύο διαφορετικά στοιχεία να αντιστοιχούν δύο διαφορετικά στοιχεία και η διαδικασία να είναι εξαντλητική (όλα τα στοιχεία του πρώτου συνόλου συνδέονται με όλα τα στοιχεία του δεύτερου).

Ας υποθέσουμε ότι υπάρχει μια ατέρμονη αλληλουχία πρώτων αριθμών. Ας συνταιριάξουμε τον πρώτο αριθμό, που είναι το 1, με το 2, τον μικρότερο πρώτο αριθμό· και μετά τον δεύτερο αριθμό, που είναι το 2, με τον μικρότερο πρώτο αριθμό που είναι μεγαλύτερος από το 2, δηλαδή το 3· και μετά το 3 με τον μικρότερο πρώτο αριθμό που είναι μεγαλύτερος από το 3, δηλαδή το 5· και μετά το 4 με τον πρώτο αριθμό 7, και λοιπά.

Αριθμοί 
1          
2
3
4
5
6
7
8
...
...

Πρώτοι Αριθμοί
2
3
5
7
11
13
17
19
...
...

Έχουμε προφανώς μια δια-μονοσήμαντη αντιστοιχεία ανάμεσα στους αριθμούς και τους πρώτους αριθμούς. Υπάρχουν συνεπώς τόσοι πρώτοι αριθμοί όσοι και αριθμοί γενικώς.


9 σχόλια:

Ονειρμός είπε...

Στον Χέγκελ ναι, αλώθηβη η ολότητα. Πχ στα δικά μας, μεταξύ Μπιτσάκη Πατέλη μια σημαντική διαφωνία είναι ότι ο πρώτος ψάχνει για μια διαλεκτική του σύμπαντος, θεωρώντας το δλδ μια ολότητα, έστω και ''ιδιαίτερου τύπου'', δλδ ένα όλον-Ένα, ενώ ο δεύτερος υποστηρίζει πως δεν έχει νόημα αυτή η προσπάθεια για τους λόγους σε σχέση με την ολότητα που προανέφερα. Δλδ για το Είναι, Σύμπαν (άλλος όρος προβληματικός και αυτός) δεν μπορούμε να μιλήσουμε με όρους ολότητας, Ενός κτλ.

Αντωνης είπε...

Προηγούμενα σχόλια:

Ονειρμός:

Το πρόβλημα με το άπειρο, το είχε πιάσει και ο Χέγκελ. Οι αριθμοί είναι ποσότητες με αφαιρεμένη την ποιοτική προσδιοριστία. Το άπειρο, στο τέλος μιας παράθεσής τους, μοιάζει άλλη μια ποσότητα. Αλλά αν ήταν ποσότητα θα μειωνόταν ή αυξανόταν, διαιρούνταν κτλ. Αρα δεν είναι ποσότητα. Μοιάζει με ποιότητα. Αλλά το άπειρο δεν έχει και ποιοτική προσδιοριστία, γτ αν είχε, θα είχε ''μέτρο''(ενότητα ποσότητας-ποιότητας), άρα και όριο, άρα θα μπορούσε να ξεπεραστεί. Ούτε αυτό συμβαίνει, είναι απεριόριστο. Το μη-Είναι στο οποίο τείνει εκ φύσεως κάθε πεπερασμένο Κάτι, και αυτή η τάση-δυικότητα ενυπάρχει μέσα του, από την στιγμή και μόνο που η ποιότητά του έχει ένα όριο.
Αυτό που περιγράφεται, δεν θα ίσχυε πχ και με τους μονούς-ζυγούς? Όσοι είναι οι μεν, είναι και οι δε? Η διαφορά είναι μάλλον ότι οι πρώτοι είναι δομικοί λίθοι των μη πρώτων. Περιμένουμε με ενδιαφέρον και τις υπόλοιπες αναρτήσεις και το συμπέρασμα της συλλογιστικής.

Αντωνης είπε...

RDAntonis:

"Αυτό που περιγράφεται, δεν θα ίσχυε πχ και με τους μονούς-ζυγούς? Όσοι είναι οι μεν, είναι και οι δε? Η διαφορά είναι μάλλον ότι οι πρώτοι είναι δομικοί λίθοι των μη πρώτων."

Δεν είναι αυτή η μοναδική διαφορά. Οι πρώτοι αριθμοί είναι υποσύνολο του συνόλου των αριθμών, ενώ μονοί και ζυγοί είναι και οι δύο υποσύνολα του συνόλου των αριθμών. Το θεώρημα ότι υπάρχουν όσοι πρώτοι αριθμοί όσοι υπάρχουν αριθμοί εν γένει αποδεικνύει δια της αντιστοιχίας ένα-προς-ένα ότι ένα υποσύνολο είναι ίσο σε έκταση (δηλαδή άπειρο) με το σύνολο που το περιέχει. Το ότι το υποσύνολο είναι άπειρο ανατινάζει όλη την αρχαία συλλογιστική περί μέρους και όλου στον αέρα. Αποδεικνύει, δηλαδή, ότι το υποσύνολο δεν είναι ταυτόσημο ως έννοια με το μέρος ή τμήμα--όροι που μαθηματικά είναι ανακριβείς και απαρχαιωμένοι. Αλλά και το όλον προβληματικοποιείται εξίσου όταν προβληματικοποιείται το μέρος ή τμήμα. Διότι δεν νοείται όλον που να είναι ίσο με ένα μέρος του.

Συνεπώς ο μαθηματικός φορμαλισμός δεν είναι αναγώγιμος σε φιλοσοφικούς προσδιορισμούς, που μάλλον εδράζονται σε μια ξεπερασμένη και αρχαϊκή γλώσσα σε ό,τι αφορά τις μαθηματικές έννοιες.

Την παρακάτω πρόταση δεν την κατάλαβα στο γραμματικό επίπεδο:

" Το μη-Είναι στο οποίο τείνει εκ φύσεως κάθε πεπερασμένο Κάτι, και αυτή η τάση-δυικότητα ενυπάρχει μέσα του, από την στιγμή και μόνο που η ποιότητά του έχει ένα όριο."

Αντωνης είπε...

Ονειρμός:

Ναι είναι κατανοητό και από το κείμενο αυτό που λες για το τμήμα-σύνολο, μέρος-όλον, και πόσο οξύμωρο φαντάζει. Ευχαριστώ για την διευκρίνιση και το πού πρέπει να επικεντρωθώ, οι πρώτοι είναι υποσύνολο των αριθμών και συγκρίνονται οι πρώτοι με τους αριθμούς, ενώ οι μονοί ζυγοί είναι και οι δύο υποσύνολα των αριθμών, οπότε δεν γίνεται σύγκριση τμήματος-όλου αλλά μεταξύ δύο υποσυνόλων. Την απορία αυτή με μονούς-ζυγούς την διατύπωσα γτ ήταν το πρώτο που αναρωτήθηκε ένας φίλος μου, σκεπτόμενος σκεπτικιστικά, γιατί να ανατρέξουμε στο άπειρο, αφού σε έναν ορισμένο αριθμό οι αριθμοί είναι περισσότεροι από τους πρώτους.
Η πρόταση που μου είπες, που ξεκινάει από το Μη-Είναι, εννοεί με το μη-Είναι το άπειρο, συνεχίζοντας από την προηγούμενη περίοδο τις αναφορές για το άπειρο. Όντως όπως την διατύπωσα είναι πιο πολύ προφορικού λόγου. Είχα σκοπό αφενός να ζητήσω την διευκρίνιση στα κατά τα άλλα πολύ ικανοποιητικά εκλαικευμένα κείμενα, αφετέρου να σημειώσω το πως έχω αντιληφθεί την έννοια του απείρου με δυο λόγια στον Χέγκελ, περιμένοντας αντιστοιχίες σε σχέση με τον Μπαντιού, τις οποίες θα τις δούμε από αυτό το blog και εγώ βέβαια, όταν αρχίζω να διαβάζω όντας έτοιμος.
Παρεμπιπτόντως, αναρωτιέται κανείς τί θα γίνει στο διήμερο. Και αν δεν ψηφιζόταν το Μεσοπρόθεσμο, ο Βενιζέλος σχεδόν είπε ότι θα υπογραφόταν. Λέγεται ότι μια Υπουργός από την Ελβετία κατά λάθος είπε πως σκέφτονται να δώσουν το νέο δάνειο σε δόσεις!xd

Αντωνης είπε...

RDAntonis:

ένας φίλος μου, σκεπτόμενος σκεπτικιστικά, γιατί να ανατρέξουμε στο άπειρο, αφού σε έναν ορισμένο αριθμό οι αριθμοί είναι περισσότεροι από τους πρώτους.

Δεν ανατρέχουμε στο άπειρο. Αντιστοιχίζουμε κάθε αριθμό με έναν πρώτο αριθμό όπως δείχνει το πιο πάνω, και συνειδητοποιούμε ότι με δεδομένο το άπειρο των αριθμών δεν θα φτάσουμε ποτέ σε έναν αριθμό στον οποίο να μην μπορούμε να αντιστοιχίσουμε έναν πρώτο αριθμό, δηλαδή ότι δεν θα φτάσουμε ποτέ σε έναν αριθμό που να καθιστά το σύνολο των αριθμών μεγαλύτερο απ' το σύνολο των πρώτων αριθμών, όσο και αν οι δεύτεροι είναι υποσύνολο των πρώτων: είναι η μέθοδος σύγκρισης άπειρων συνόλων.

Το άπειρο στον Μπαντιού είναι εντελώς υλιστική έννοια και δεν έχει ίχνος θεολογικότητας γιατί η βάση της μαθηματικής του οντολογίας είναι το αδύνατο του Ενός και της ολότητας. Υπ' αυτή την έννοια, υπάρχουν δραστικές διαφορές απ' τον Χέγκελ, τον οποίο όμως ο Μπαντιού θεωρεί έναν απ' τους τρεις σημαντικότερους φιλοσόφους όλων των εποχών (οι άλλοι δύο είναι οι Πλάτων και Καρτέσιος).

Για τις μαθηματικές αποδείξεις του αδύνατου του Ενός, θα πρέπει να μεταφράσω εδάφια απ΄το προηγούμενο βιβλίο, το Είναι και το συμβάν.

Αντωνης είπε...

Ονειρμός:

Ναι θυμάμαι την θέση αυτή, για το ''απείρως πολλαπλό Είναι'', αντί του Ενός. Νομίζω για το Είναι , για το Σύμπαν, την Φύση, καμία πραγματική υλιστική διαλεκτική δεν θα έλεγε ότι είναι ολότητα (ενώ το λέει πχ ο Μπιτσάκης). Κι αυτό γιατί η ολότητα είναι κατηγορία που προυποθέτει το έξω της, το αναγκαίο προυποθέτει το τυχαίο, το εσωτερικό το εξωτερικό κτλ. Δλδ αν εννοείται αυτό, τότε έχει απαντηθεί από κάποιους ''διαλεκτικούς'', ή τουλάχιστον αυτοί έχουν πάρει θέση περί της αδυνατότητας του Ενός και της ολότητας σε σχέση με το Είναι, χωρίς βέβαια τις μαθηματικές αποδείξεις και ενδεχομένως την επάρκεια που το κάνει ο Μπαντιού, αλλά με τα εργαλεία που είχαν. Όλοι οι σοβιετικοί πχ δεν μιλούσαν για διαλεκτική της Φύσης ή του Σύμπαντος ως ολότητας κτλ. Όμως, το αν η ποιοτική προσδιοριστία ορισμένων αντικειμένων, όπως των κεφαλαιοκρατικών σχέσεων ή της κοινωνίας, τα συγκροτεί ως αυτοαναπαραγόμενες ολότητες, φαντάζομαι θα γίνεται δεκτό. Υπό αυτό το πρίσμα άλλωστε γράφτηκε το Κεφάλαιο.

Αντωνης είπε...

Γιάννης Τζανάκος:

Το άπειρο δεν ερείδεται οντολογικά στην μαθηματική γένεσή του, άρα κάθε συλλογισμός των θετικών επιστημών και επιστημόνων, όπως και κάθε υλιστική φυλάκισή του με τις τανάλιες του ορθολογισμού δεν θα ξεκάμει την ανάγκη του ανθρώπου, ειδικά του ευαίσθητου και όχι του φιλοσόφου-τανάλια να το αναζητήσει εντός της α-δυνατότητάς του να το βιώσει εντός της απιθανότητας βίωσής του..αλλά τι λέω τώρα εδώ, εδώ είναι ναός του μαρξισμού, τέτοια θα λέμε..πάντως στοιχήμα τα επόμενα 32284488483737372828838383838388388382 χρόνια, ότι ότι και να κάνετε, τους ανθρώπους να περιορίζονται στο "πεπερασμένο" και να μην επιθυμούν το άπειρο και φυσικά το ΕΝΑ, ξεχάστε το δια παντός..Να ρίξεις χαμαί τον Πλάτωνα και τον Πλωτίνο και φυσικά τον Έγελο και την Ολότητά του, όπως έχω ήδη αποφανθεί;; προσπαθήστε..υπάρχει άπειρος χρόνος

Αντωνης είπε...

RDAntonis:

Η υλιστική θεώρηση του απείρου δεν αφορά ούτε απλώς αριθμούς ούτε απλώς τα μαθηματικά.

Η αδυνατότητα του Ενός είναι νομίζω κεφαλαιώδες θέμα οντολογικά και φιλοσοφικά, και για τον ίδιο τον Μπαντιού, που συγκρατεί πολλά και κεφαλαιώδη απ' τον Πλάτωνα αλλά όχι αυτό.

Αντωνης είπε...

RDAntonis (απάντηση σε πρώτο σχόλιο Ονειρμός όπως εμφανίζονται τα σχόλια):

Η εντύπωσή μου είναι ότι στον Χέγκελ διατηρείται αλώβητη η κατηγορία της ολότητας, αλλά φαντάζομαι δεν τον κατατάσσεις στην υλιστική διαλεκτική.

"Όμως, το αν η ποιοτική προσδιοριστία ορισμένων αντικειμένων, όπως των κεφαλαιοκρατικών σχέσεων ή της κοινωνίας, τα συγκροτεί ως αυτοαναπαραγόμενες ολότητες, φαντάζομαι θα γίνεται δεκτό."

Όχι απ' τον Μπαντιού, δεν νομίζω. Δεν έχει το παραμικρό ενδιαφέρον ο Μπαντιού για κατηγορίες όπως "τρόπος παραγωγής" ή για τις παραδοσιακές αναφορές στις τάξεις/ Θα πρέπει να σου βρω κάποια σχετικά εδάφια απ' το Θεωρία του υποκειμένου.